Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E為的PC中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面PBC⊥平面PDC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC交BD于O，連接EO，PO，證明PA∥EO，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，推出∠APC=90°，求出PC，然后證明BE⊥DE，BE⊥PC，得到BE⊥面PDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PBC⊥平面PDC．

解答： 證明（1）連接AC交BD于O，連接EO，PO
∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC中點(diǎn)，…（2分）
又E為PC中點(diǎn)．∴PA∥EO…（4分）
又EO?面BDE，PA?面BDE∴PA∥平面BDE…（7分）
（2）在△PAC中，易得AO=CO=PO=

3

∴∠APC=90°，∴PC=2

2

…（9分）
∴在△PDC中可求得DE=

2

，同理在△PBC中可求得BE=

2

∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE…（11分）
又PB=BC，E為PC中點(diǎn)，∴BE⊥PC…（12分）
BE⊥面PDC，又BE?面PBC
∴平面PBC⊥平面PDC…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．