Question

已知直線l過點（0，

5

4

），且斜率為

1

2

，拋物線C：y²=2px（p大于0）的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若

OA

．

OB

+P2=0（O為原點，A、B異于原點），試求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先求得直線l的方程，進而可得到原點垂直于l的直線方程，然后聯立兩方程求得其交點坐標，即可得到P的值，從而可確定拋物線的方程．
（2）先假設A，B，N的坐標，根據

OA

•

OB

+p2=0可得到關于A，B坐標之間的關系，再由A，B兩點均在拋物線上得到y(tǒng)₂²=4x₁，y₂²=4x₂即可得到y(tǒng)₁y₂的值，再表示出直線ON，結合y₂²=4x₁，y₂²=4x₂和y₁y₂=-8可得到點N的軌跡．

解答：解：（1）由題意可得直線l：y=

1

2

x+

5

4

①
過原點垂直于l的直線方程為y=-2x②
解①②得x=-

1

2

．∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
∴-

P

2

=-

1

2

×2，P=2∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），由

OA

•

OB

+p2=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂．解得y₁y₂=-8③
直線ON：y=

y2

x2

x，即y=

4

y2

x④由③、④及y=y₁得，
點N的軌跡方程為x=-2（y≠0）．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合題，直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點也是熱點問題，每年必考，平時要注意基礎知識的積累和靈活運用．