Question

16．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2sin Acos B=2sin C-sin B．
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=4$\sqrt{3}$，b+c=8，求△ABC 的面積．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理化簡已知等式可得cosB=$\frac{2c-b}{2a}$，結合余弦定理可求b²+c²-a²=bc，可求cosA，結合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=$\frac{16}{3}$，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵2sinAcosB=2sinC-sinB，
∵由正弦定理可得：2acosB=2c-b，即：cosB=$\frac{2c-b}{2a}$，
又∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴$\frac{2c-b}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，解得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，a=4$\sqrt{3}$，b+c=8，
∴（4$\sqrt{3}$）²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=64-3bc，
∴bc=$\frac{16}{3}$，
∴△ABC 的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．