Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≤4
（2）若不等式f（x）+a≥0解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值并分類討論，分別解關(guān)于x的不等式f（x）≤4，最后將各部分得到的解集取并集，即可得到原不等式的解集．
（2）由（1）得到f（x）的分段函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在R上先減后增，得到函數(shù)的最小值為-

7

2

．而不等式f（x）+a≥0解集為R即f（x）≥-a恒成立，可得-

7

2

≥-a，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）①當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，2x+1與x-3都是負(fù)數(shù)，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（-2x-1）-（3-x）=-x-4．
此時(shí)f（x）≤4即-x-4≤4，解之得-8≤x＜-

1

2

；
②當(dāng)-

1

2

≤x≤3時(shí)，2x+1是正數(shù)而x-3都是負(fù)數(shù)，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（3-x）=3x-2．
此時(shí)f（x）≤4即3x-2≤4，解之得-

1

2

≤x≤2；
③當(dāng)x＞3時(shí)，2x+1與x-3都是正數(shù)，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（x-3）=x+4．
此時(shí)f（x）≤4即x+4≤4，解集為空集，
綜上所述，不等式f（x）≤4的解集是{x|-8≤x≤2}．
（2）由（1）的計(jì)算可得f（x）=

-x-4，    (x＜- 1 2 ) 3x-2，          (- 1 2 ≤x≤3) x+4，            (x＞3)

，
根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在（-∞，-

1

2

）上為減函數(shù)，
在（-

1

2

，3）上為增函數(shù)且在（3，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（-

1

2

）=-

7

2

．
∵不等式f（x）+a≥0解集為R，
∴不等式f（x）≥-a恒成立，即[f（x）]_min≥-a，
可得-

7

2

≥-a，解之得a≥

7

2

，
∴滿足不等式f（x）+a≥0解集為R的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

7

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)f（x），解關(guān)于x的不等式并討論不等式恒成立的問題．著重考查了絕對(duì)值的意義、函數(shù)的單調(diào)性與不等式的解法等知識(shí)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．