Question

某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種樣式的杯子，每種杯子均有300ml和500ml兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量（單位：個(gè)）如下表所示：

型號(hào)	甲樣式	乙樣式	丙樣式
300ml	z	2500	3000
500ml	3000	4500	5000

按樣式用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的杯子中隨機(jī)的抽取100個(gè)，其中有乙樣式的杯子35個(gè)．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在甲樣式的杯子中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從這個(gè)樣本中任取2個(gè)杯子，求至少有1個(gè)300ml的杯子的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)在丙樣式的杯子中抽取了x個(gè)，利用抽樣比直接求解即可．
（Ⅱ）設(shè)所抽樣本中有m個(gè)300ml的杯子，求出從中任取2個(gè)300ml的杯子的所有基本事件個(gè)數(shù)，求出至少有1個(gè)300ml的杯子的基本事件個(gè)數(shù)，然后求解概率．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)在丙樣式的杯子中抽取了x個(gè)，
由題意

35

2500+4500

=

x

3000+5000

，∴x=40．
∴在甲樣式的杯子中抽取了100-40-35=25個(gè)，
∴

35

7000

=

25

z+2000

，解得z=2000．
（Ⅱ）設(shè)所抽樣本中有m個(gè)300ml的杯子，
∴△=4k²b²-4（k²+3）（b²-6）=12（k²-b²+6）＞0，
∴m=2．
也就是抽取的5個(gè)樣本中有2個(gè)300ml的杯子，分別記作A₁，A₂；3個(gè)500ml的杯子，分別記作B₁，B₂，B₃．
則從中任取2個(gè)300ml的杯子的所有基本事件為（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃），共10個(gè)．
其中至少有1個(gè)300ml的杯子的基本事件有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂），共7個(gè)
∴至少有1個(gè)300ml的杯子的概率為

7

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型的概率的求法，分層抽樣的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．