Question

2．在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線 $C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，直線l的極坐標(biāo)方程為$2ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；
（2）設(shè)曲線C的左頂點(diǎn)為A，直線l與x軸的交點(diǎn)為B，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動，求|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線 $C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得參數(shù)方程．直線l的極坐標(biāo)方程為$2ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，展開為：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，利用互化公式可得普通方程．
（2）A（-2，0），B（1，0），設(shè)P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．可得|PA|²+|PB|²=$6（cosθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{19}{3}$，利用二次函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線 $C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）．
直線l的極坐標(biāo)方程為$2ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，展開為：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，可得普通方程：x+$\sqrt{3}$y-1=0．
（2）A（-2，0），B（1，0），設(shè)P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
則|PA|²+|PB|²=（2cosθ+2）²+sin²θ+（2cosθ-1）²+sin²θ=6cos²θ+4cosθ+7=$6（cosθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{19}{3}$∈$[\frac{19}{3}，17]$．
當(dāng)cosθ=-$\frac{1}{3}$時，取得最小值$\frac{19}{3}$；當(dāng)cosθ=1時，取得最大值17．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、二次函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．