Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x）…f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N⁺，n≥2），記f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₃（

π

2

）等于（　�。�

• A、1
• B、-1
• C、0
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，通過(guò)計(jì)算即可得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）進(jìn)而即可得出答案．

解答： 解：∵f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，…，
∴f_n+4（x）=f_n（x），
∴f₂₀₁₃（x）=f_503×4+1（x）=f₁（x）=sinx+cosx．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=sinx+cosx+cosx-sinx-sinx-cosx-cosx+sinx=0，
∴f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₃（

π

2

）=f₁（

π

2

）=sin

π

2

+cos

π

2

=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）是解題的關(guān)鍵．