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14.某中學(xué)是走讀中學(xué),為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時間,學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室,以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè),同時每天派老師輪流值班.在本學(xué)期第二次月考后,高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù),得到如下2×2列聯(lián)表:
非優(yōu)良優(yōu)良總計
未設(shè)立自習(xí)室251540
設(shè)立自習(xí)室103040
總計354580
(1)能否在在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效;
(2)從該班第一次月考的數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中和第二次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績中,按分層抽樣隨機(jī)抽取5個成績,再從這5個成績中隨機(jī)抽取2個,求這2個成績來自同一次月考的概率.
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(參考公式:K2=nadbc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d)

分析 (1)由2×2列聯(lián)表,計算K2,對照臨界值表得出結(jié)論;
(2)根據(jù)分層抽樣比例求出所抽取的5個成績,
利用列舉法計算基本事件數(shù)、計算對應(yīng)的概率值.

解答 解:(1)由2×2列聯(lián)表,計算K2的觀測值為
k=80×25×3015×10240×40×35×45=807>7.879,
對照臨界值表,得出能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,
認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效;
(2)根據(jù)分層抽樣原理,
從第一次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中抽取1525×5=3個,記為A、B、C;
從第二次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中抽取1025×5=2個,記為d、e;
則從這5個成績中抽取2個,基本事件是
AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10個,
其中抽取的2個成績均來自同一次月考的基本事件有
AB、AC、BC、de共4個,
故所求的概率為P=410=25

點評 本題考查了獨立性檢驗與列舉法求古典概型的概率問題,是基礎(chǔ)題.

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