Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R₁，R₂是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R₁，R₂到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R₁，R₂到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OA的方程，設(shè)出，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三角形的面積公式，消去a，b得點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，推出u的表達(dá)式，令t=x₁•x₂則，推出，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大的常數(shù)使u≥m恒成立．
解答：解：（1）射線．（1分）
設(shè)（a＞0，b＞0），
則，（3分）
又因?yàn)椤鱌OQ的面積為，
所以；（4分）
消去a，b得點(diǎn)M的軌跡C的方程為：（x＞0，y＞0）．（7分）
（2）設(shè)R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，（8分）
所以
=（9分）
令t=x₁•x₂則，所以有，（11分）
則有：當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，（13分）
所以存在最大的常數(shù)使u≥m恒成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題中檔題，考查與直線有關(guān)的函數(shù)的最值問(wèn)題曲線的軌跡方程的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)性常常利用導(dǎo)數(shù)求解；考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，是有難度的中檔題，常考題型．