如圖，M為橢圓
x2
3
+y2=1上任意一點，P為線段OM的中點，求
PF1
•
PF2
的最小值
-
7
4
-
7
4
．
分析：由題意設出P的坐標，求出
PF1
，
PF2
，然后直接計算
PF1
•
PF2
，即可求出最小值．
解答：解：設M（
3
cosα ，sinα），所以P（
3
2
cosα ， 
1
2
sinα），F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)；
所以
PF1
=(-
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)；
PF2
=(
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)；
所以
PF1
•
PF2
=(-
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)• (
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)
=-2+
3
4
cos2α+
1
4
sin2α=
1
2
cos2 α-
7
4
≥-
7
4
．
PF1
•
PF2
的最小值-
7
4
．
故答案為：-
7
4
．
點評：本題是中檔題，考查橢圓的簡單性質，橢圓的參數(shù)方程，向量的數(shù)量積等知識，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x23
+y2=1．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=-3于點D（-3，m）．
（Ⅰ）求m2+k2的最小值；
（Ⅱ）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在矩形ABCD中，|AB|=2
3
，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且
|OR|
|OF|
=
|CR′|
|CF|
=
1
n
．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：
x2
3
+y2=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為
2
3
，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃岡模擬）在矩形ABCD中，|AB|=2
3
，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且
|OR|
|OF|
=
|CR′|
|OF|
=
1
n
．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：
x2
3
+y2=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為
2
3
，求證：直線MN過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知A1，A2分別為橢圓
y2
4
+
x2
3
=1的下頂點和上頂點，F(xiàn)為橢圓的下焦點，P為橢圓上異于A1，A2點的任意一點，直線A1P，A2P分別交直線l：y=m（m＜-2）于M，N點
（1）當點P位于y軸右側，且PF∥l時，求直線A1M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN為直徑的圓過F點？若存在加以證明，若不存在，請說明理由；
（3）由（2）問所得m值，求線段MN最小值．

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