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已知
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），設M是直線OP上一點，O是坐標原點．
（1）求使
MA
•
MB
取最小值時的
OM
；
（2）對（1）中的點M，求∠AMB的余弦值．
分析：（1）設M（x，y），我們由M是直線OP上一點，則
OM
∥
OP
，求出x與y的關系，進而求出
MA
•
MB
的表達式，進而根據二次函數的性質可得M點的坐標，進而求出答案．
（2）根據（1）中答案，代入向量夾角公式cos∠AMB=
MA
•
MB
|
MA
||
MB
|
，可得答案．
解答：解：（1）設M（x，y），則
OM
=(x，y)，
由題意可知
OM
∥
OP
，又
OP
=(2，1)．
所以x-2y=0即x=2y，所以M（2y，y），
則
MA
•
MB
=(1-2y，7-y)•(5-2y，1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8，
當y=2時，
MA
•
MB
取得最小值，
此時M（4，2），即
OM
=(4，2)．
（2）∵cos∠AMB=
MA
•
MB
|
MA
||
MB
|
=
(-3，5)•(1，-1)
34
×
2
=-
4
17
17
．
∴∠AMB的余弦值為-
4
17
17
點評：本題考查的知識點是平面向量夾角公式，共線向量，向量的夾角公式，是向量的綜合應用，難度適中．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A（2，-1），B（-1，1），O為坐標原點，動點P滿足
OP
=m
OA
+n
OB
，其中m、n∈R，且2m2-n2=2，則動點P的軌跡是（　�。�
A、焦距為
3
的橢圓
B、焦距為2
3
的橢圓
C、焦距為
3
的雙曲線
D、焦距為2
3
的雙曲線

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），設M是直線OP上一點，O是坐標原點．
（1）求使
MA
•
MB
取最小值時的
OM
；
（2）對（1）中的點M，求∠AMB的余弦值．

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科目：高中數學 來源：閘北區(qū)二模 題型：單選題

已知A（2，-1），B（-1，1），O為坐標原點，動點P滿足
OP
=m
OA
+n
OB
，其中m、n∈R，且2m2-n2=2，則動點P的軌跡是（　�。�
A．焦距為
3
的橢圓		B．焦距為2
3
的橢圓
C．焦距為
3
的雙曲線		D．焦距為2
3
的雙曲線

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年人教A版湖北省期末數學試卷（必修4）（解析版） 題型：填空題

已知向量=（2，1），=（1，7），=（5，1），設X是直線OP上的一點（O為坐標原點），那么的最小值是     ．

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