18.如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點.

（Ⅰ）寫出直線l的截距式方程；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）當a＝2p時，求∠MON的大小.

18.本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：直線l的截距式方程為

　　　　　　　�、�

（Ⅱ）證明：由①及消去x可得

　�、�

點M，N的縱坐標y1，y2為②的兩個根，故

y1+y2=，y1y2=－2pa.

所以

（Ⅲ）解：設直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，

則k1=，k2=.

當a=2p時，由（Ⅱ）知，

由y12=2px1，y22＝2px2相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，

x1x2===4p2，

因此k1k2==＝－1，

所以OM⊥ON，即∠MON＝90°.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，O為坐標原點，點A，B，C均在⊙O上，點A(
3
5
，
4
5
)，點B在第二象限，點C（1，0）．
（Ⅰ）設∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）若△AOB為等邊三角形，求點B的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點．
（1）寫出直線l的方程；
（2）求x1x2與y1y2的值；
（3）求證：OM⊥ON．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b，且交拋物線y2=2px（p＞0）于M（x1，y1）、N（x2，y2）兩點（異于原點）．
（1）證明：
1
y1
+
1
y2
=
1
b
；
（2）當a=2p時，求證：OM⊥ON．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（1）求x1x2與y1y2的值；
（2）求證：OA⊥OB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點，且拋物線C1上點P處的切線與圓C2：x2+y2=1相切于點Q．
（Ⅰ）當直線PQ的方程為x-y-
2
=0時，求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）當正數(shù)p變化時，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求
S1
S2
的最小值．

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