Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象上相鄰的最高點與最低點的坐標分別為（

5π

12

，3）和（

11π

12

，-3），
求（1）求該函數(shù)的解析式
（2）若關于x的方程f（x）=a在（0，

7π

6

）有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可求得A=3，ω=2，φ=-

π

3

，從而可得該函數(shù)的解析式；
（2）x∈（0，

7π

6

）⇒（2x-

π

3

）∈（-

π

3

，2π）⇒3sin（2x-

π

3

）∈[-3，3]；令z=2x-

π

3

，則z∈（-

π

3

，2π），作出y=3sinz（z∈（-

π

3

，2π））與y=a的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．

解答： 解：（1）依題意得，A=3，

T

2

=

11π

12

-

5π

12

=

π

2

，即

2π

ω

=π，解得ω=2；
∴f（x）=3sin（2x+φ），
由2×

5π

12

+φ=

π

2

+2kπ得：φ=-

π

3

+2kπ（k∈Z），|φ|＜

π

2

，∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=3sin（2x-

π

3

）；…（6分）
（2）∵x∈（0，

7π

6

），
∴（2x-

π

3

）∈（-

π

3

，2π），
∴3sin（2x-

π

3

）∈[-3，3]；
令z=2x-

π

3

，則z∈（-

π

3

，2π），y=3sinz∈[-3，3]；
∵f（x）=a在（0，

7π

6

）有兩個不同的實數(shù)根，即y=3sinz（z∈（-

π

3

，2π））與y=a有兩個交點，
作圖如下：

由圖知，0≤a＜3或-3＜≤-

3 3

2

．…（12分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查作圖能力與運算求解能力，屬于中檔題．