Question

如圖所示，正五邊形ABCDE的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)整數(shù)，且這五個(gè)整數(shù)的和為正數(shù)．若其3個(gè)相鄰頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的整數(shù)依次為x、y、z，且y＜0，則要進(jìn)行如下的操作：把整數(shù)x、y、z分別換為x+y，-y，z+y，稱(chēng)其為一次“求正”操作．只要五個(gè)整數(shù)中有負(fù)整數(shù)，“求正”操作就要繼續(xù)進(jìn)行．
（Ⅰ）若 A，B，C，D，E對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為3，-2，-2，4，1，寫(xiě)出每一步“求正”操作直到終止；
（Ⅱ）若 A，B，C，D，E對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，-4，5，1，2，并且經(jīng)過(guò)兩次“求正”操作后終止，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）判斷對(duì)任意滿(mǎn)足條件的數(shù)組，“求正”操作是否經(jīng)過(guò)有限次后就一定能終止？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)“求正”操作的程序可得，操作依次為：3，-2，-2，4，1→1，2，-4，4，1，→1，-2，4，0，1，→
-1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分對(duì)-4操作和對(duì)a-4進(jìn)行操作兩種情況，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，結(jié)合a為整數(shù)，即可求出所求a的值．
（III）我們把5個(gè)數(shù)的環(huán)列寫(xiě)成橫我v，w，x，y，z．不妨設(shè)y＜0，經(jīng)變換后得v，w，x+y，-y，z+y．下面考察5個(gè)數(shù)的平方和再加上每相鄰兩數(shù)和的平方這一整體，根據(jù)變換前后的差小于0，由此可得，這一整體每經(jīng)過(guò)一次變換都要減小，但最初這一整體是正整數(shù)，經(jīng)變換后還是正整數(shù)，而正整數(shù)是不能無(wú)限減小的，所以變換必定有終止的時(shí)候．

解答：解：（I）操作依次為：3，-2，-2，4，1→1，2，-4，4，1，→1，-2，4，0，1，→
-1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分兩種情況，先對(duì)-4操作，過(guò)程如下：
a，-4，5，1，2→a-4，4，1，1，2．此時(shí)，a-4必為負(fù)數(shù)，繼續(xù)操作，→4-a，a，1，1，a-2．
于是有

a-4＜0 a-2≥0 4-a≥0 a≥0

，解之得a=2或3．
若對(duì)a進(jìn)行操作，a，-4，5，1，2→-a，a-4，5，1，a+2．此時(shí)a-4＜a-2，
故可對(duì)a-4進(jìn)行操作，-a，a-4，5，1，a+2→-4，4-a，a+1，1，a+2．顯然無(wú)法終止，不符合題意．
綜上，所求a的值為2或3．
（III）為方便見(jiàn)，我們把5個(gè)數(shù)的環(huán)列寫(xiě)成橫我v，w，x，y，z．不妨設(shè)y＜0，經(jīng)變換后得v，w，x+y，-y，z+y．
考察5個(gè)數(shù)的平方和再加上每相鄰兩數(shù)和的平方這一整體，那么變換前后的差是：
{v²+w²+（x+y）²+（-y）²+（z+y）²+（v+w）²+（w+x+y）²+x²+z²+（z+y+v）²]-{v²+w²+（x+y）²+y²+（z+y）²+（v+w）²+（w+x）²+x²+z²+（z+v）²]=2y（v+w+x+y+z）＜0，
由此可得，這一整體每經(jīng)過(guò)一次變換都要減小，但最初這一整體是正整數(shù)，經(jīng)變換后還是正整數(shù)，
而正整數(shù)是不能無(wú)限減小的，所以變換必定有終止的時(shí)候．
即“求正”操作經(jīng)過(guò)有限次后就一定能終止．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查了數(shù)學(xué)邏輯思想能力，屬于難題．