Question

14．在△ABC中，已知內(nèi)角A=$\frac{π}{3}$，邊BC=2$\sqrt{3}$．設(shè)內(nèi)角B=x，面積為y．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（Ⅱ）求y的最大值．

Answer 1

分析 （I）由已知角A及三角形的內(nèi)角和定理可求x的范圍，然后由正弦定理，$AC=\frac{BC}{sinA}sinB=4sinx$，代入三角形的面積公式，即可求解；
（II）利用兩角差的正弦公式及輔助角公式對（I）中的函數(shù)關(guān)系進行化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解取得最大值時的x即B及相應(yīng)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π
∵$A=\frac{π}{3}$
∴$0＜B＜\frac{2π}{3}$…（1分）
∵$AC=\frac{BC}{sinA}sinB=4sinx$…（4分）
y=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=4$\sqrt{3}$ sinxsin（$\frac{2π}{3}$-x）（0＜x＜$\frac{2π}{3}$）…（6分）
（II）y=4$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{2π}{3}$-x）=4$\sqrt{3}$sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）
=6sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin2x
=3sin2x+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2x=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$（-$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$）…（8分）
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，y取得最大值3$\sqrt{3}$
∴B=$\frac{π}{3}$時，△ABC的面積最大為3$\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題綜合考查了三角形的正弦定理、內(nèi)角和定理及兩角差的正弦公式、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用