Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0，），離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)依題意得b=，，，∴ a=2，c=1，
∴ 橢圓C的方程.………………3分
(Ⅱ)因直線l與y軸相交，故斜率存在，設(shè)直線l方程為：，求得l與y軸交于M(0，-k)，又F坐標(biāo)為 (1，0)，設(shè)l交橢圓于，
由 消去y得，
，………5分
又由  ∴，
同理， ，
…………………7分
所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時，的值為定值.………………8分
（Ⅲ）當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l⊥x軸，則為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK的中點(diǎn)，猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點(diǎn)，
證明：由（Ⅱ）知，，
當(dāng)直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點(diǎn)
，
當(dāng)時，

. …………………11分
∴點(diǎn)在直線上，同理可證，點(diǎn)也在直線上；
∴當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點(diǎn)， 

略