Question

2012年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90），得到如圖的頻率分布直方圖．問：
（1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值．
（3）若從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中速車在[65，70）的車輛數(shù)ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

Answer 1

分析：（1）這個抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應(yīng)的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應(yīng)矩形的底邊的中點(diǎn)的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，根據(jù)題意抽出的2輛車中速車在（65，70）的車輛數(shù)ξ可能為0、1、2，求出相應(yīng)的概率，即可求得分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知這個抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣．
故調(diào)查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣，（2分）
（2）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計值等于77.5    （4分）
設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數(shù)的估計值為77.5                （6分）
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m₁=0.01×5×40=2（輛），（7分）
車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m₂=0.02×5×40=4（輛）      （8分）
∴ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

，P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

6

15

，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	6 15

（11分）
數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

6

15

=

4

3

．（12分）

點(diǎn)評：解決頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應(yīng)的矩形的底邊中點(diǎn)的和．此題把統(tǒng)計和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應(yīng)引起重視．