Question

已知函數(shù)f（x）=log₂|cosx|．
（1）求其定義域和值域；
（2）判斷奇偶性；
（3）判斷周期性，若是，求出其最小正周期；
（4）寫出單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)于f（x）=log₂|cosx|，令t=|cosx|＞0，則y=log₂t，即可求解定義域，值域．（2）f（-x）=f（x）=）log₂|cosx|．
定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判斷奇偶性．（3）根據(jù)f（x+π）=log₂|cos（x+π）|=log₂|cosx|=f（x），得出周期性．
（4）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得，只需求出t=|cosx|的增區(qū)間即可，由絕對(duì)值的意義結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂|cosx|．
∴|cosx|＞0，x≠kπ+

π

2

，k∈Z，
對(duì)于f（x）=log₂|cosx|，
令t=|cosx|＞0，則y=log₂t，0＜t≤1，
∴y≤0，
∴定義域?yàn)閧x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，值域?yàn)椋?∞，0]；
（2）f（-x）=f（x）=）log₂|cosx|．
定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）=log₂|cosx|．為偶函數(shù)，
（3）∵f（x+π）=log₂|cos（x+π）|=log₂|cosx|=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，最小正周期π
（4）分析單調(diào)性可得，y=log₂t，0＜t≤1為增函數(shù)，
欲求f（x）=log₂|cosx|的單調(diào)遞減區(qū)間，
只需求出t=|cosx|的減區(qū)間即可，
∵t=|cosx|的減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．
故答案為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意其單調(diào)性的特殊判斷方法，先拆分，再分析，分析方法為同增異減．