如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于點N，M是PD中點．
（1）用空間向量證明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求點N到平面ACM的距離．
分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算證明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量數(shù)量積運算公式，求解．
（3）根據(jù)AN⊥PC，利用射影定理求出
NC
PC
，再利用公式求出P的平面的距離，然后求N到平面的距離．
解答：解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）
CM
=（-2，-2，2），
AM
=（0，2，2），
∵
CM
•
AM
=-4+4=0，∴CM⊥AM
∵PA=AD，M為PD的中點，∴AM⊥PD
∴AM⊥平面PCD，AM?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD
（2）設(shè)
n
=（x，y，z）是平面ACM的法向量，則
2y+2z=0
-2x-2y+2z=0
，令z=-1，得
n
=（-2，1，-1）
CD 
=（-2，0，0）
設(shè)直線CD與平面ACM所成角為α，則sinα=
n
•
CD
|
n
||
CD
|
=
6
3
．
（3）∵AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN×PC，PC=6，∴PN=
8
3
，則NC=PC-PN=
10
3
，
NC
PC
=
5
9
，∴所求距離等于點P到平面ACM距離的
5
9
，
設(shè)點P到平面ACM距離為h，則h=|
AP
•
n
|
n
|
|=
4
6
=
2
6
3
，
∴點N到平面ACM的距離為
10
6
27
．
點評：本題考查利用向量法求空間角、空間距離問題．利用向量求直線與平面所成的角及點到平面的距離關(guān)鍵是求得平面的法向量．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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