Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，a₁+a₂+…+a₂₀=590
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)bn=loga(

an+1

an

)（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試比較S_n與

1

3

logaan+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得

a1=1 10a1+ 10(10-1) 2 d=590.

，解之可得首項(xiàng)和公差，可得通項(xiàng)公式；
（2）可得S_n=log_a[（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）]，

1

3

logaan+1=loga

3	3n+1

，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）與

3	3n+1

，推測(cè)（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

，下面由數(shù)學(xué)歸納法證明，可得最后結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得

a1=1 10a1+ 10(10-1) 2 d=590.

解得

a1=1 d=3.

，所以a_n=3n-2．
（2）．由a_n=3n-2，bn=loga

an+1

an

，
知S_n=log_a（1+1）+log_a（1+

1

4

）+…+log_a（1+

1

3n-2

）
=log_a[（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）]，

1

3

logaan+1=

1

3

loga(3n+1)=loga

3	3n+1

要比較S_n與

1

3

log_aa_n+1的大小，先比較（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）與

3	3n+1

取n=1有（1+1）＞

3	3•1+1

，取n=2有（1+1）（1+

1

4

）＞

3	3•2+1

，…，
由此推測(cè)（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

．              ①
若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞

1

3

log_aa_n+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜

1

3

log_aa_n+1
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）＞

3	3k+1

（1+

1

3k+1

）=

3 3k+1

3k+1

（3k+2）．
因?yàn)?span id="zj98ygx" class="MathJye">[

3 3k+1

3k+1

(3k+2)]3-[

3	3k+4

]3=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，
所以

3 3k+1

3k+1

（3k+2）＞

3	3k+4

=

3	3(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3k-2

）（1+

1

3k+1

）＞

3	3(k+1)+1

．
這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
由（�。�，（ⅱ）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．由此證得：
當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞

1

3

log_aa_n+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜

1

3

log_aa_n+1
由于①等價(jià)于k＜g（α），k∈Z
∴k的最大值為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬中檔題．