已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,a1+a2+…+a20=590
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=loga(
an+1
an
)
(其中a>0,且a≠1),記Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.試比較Sn
1
3
logaan+1
的大小,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意得
a1=1
10a1+
10(10-1)
2
d=590.
,解之可得首項(xiàng)和公差,可得通項(xiàng)公式;
(2)可得Sn=loga[(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)],
1
3
logaan+1
=loga
33n+1
,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)與
33n+1
,推測(cè)(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)>
33n+1
,下面由數(shù)學(xué)歸納法證明,可得最后結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意得
a1=1
10a1+
10(10-1)
2
d=590.

解得
a1=1
d=3.
,所以an=3n-2.
(2).由an=3n-2,bn=loga
an+1
an
,
知Sn=loga(1+1)+loga(1+
1
4
)+…+loga(1+
1
3n-2

=loga[(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)],
1
3
logaan+1
=
1
3
loga(3n+1)
=loga
33n+1

要比較Sn
1
3
logaan+1的大小,先比較(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)與
33n+1

取n=1有(1+1)>
33•1+1
,取n=2有(1+1)(1+
1
4
)>
33•2+1
,…,
由此推測(cè)(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)>
33n+1
.              ①
若①式成立,則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定:當(dāng)a>1時(shí),Sn
1
3
logaan+1;當(dāng)0<a<1時(shí),Sn
1
3
logaan+1
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.
(。┊(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),①式成立,即(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3k-2
)>
33k+1

那么,當(dāng)n=k+1時(shí),(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3k-2
)(1+
1
3(k+1)-2
)>
33k+1
(1+
1
3k+1
)=
33k+1
3k+1
(3k+2).
因?yàn)?span id="zj98ygx" class="MathJye">[
33k+1
3k+1
(3k+2)]3-[
33k+4
]3=
(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2
(3k+1)2
=
9k+4
(3k+1)2
>0
,
所以
33k+1
3k+1
(3k+2)>
33k+4
=
33(k+1)+1

因而(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3k-2
)(1+
1
3k+1
)>
33(k+1)+1

這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.
由(。áⅲ┲偈綄(duì)任何正整數(shù)n都成立.由此證得:
當(dāng)a>1時(shí),Sn
1
3
logaan+1;當(dāng)0<a<1時(shí),Sn
1
3
logaan+1
由于①等價(jià)于k<g(α),k∈Z
∴k的最大值為2
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義一個(gè)“等積數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫“等積數(shù)列”,這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為:
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在一個(gè)數(shù)列中,如果?n∈N*,都有an•an+1•an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=3,公積為27,則a1+a2+a3+…+a18=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義“等積數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一個(gè)項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù),那末這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積,則T2011=
51006
2
51006
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

我們對(duì)數(shù)列作如下定義,如果?n∈N*,都有anan+1an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=2,公積為6,則a1+a2+a3+…+a9=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.
(1)類(lèi)比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義;
(2)已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,求 a18的值,并猜出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式(不要求證明).

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