Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

，右焦點(diǎn)為F₂（2

2

，0），點(diǎn)A₁，A₂分別為左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為此雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)tan∠PA₁A₂+tan∠PA₂F₂=m，則有（　�。�

• A、m＜2
• B、m≤2
• C、m＞2
• D、m≥2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線的離心率公式及a，b，c的關(guān)系可得a=b=2，即有雙曲線的方程，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出m的關(guān)系式并化簡(jiǎn)，再由雙曲線的參數(shù)方程，結(jié)合同角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算即可得到．

解答： 解：由于雙曲線的離心率為

2

，右焦點(diǎn)為F₂（2

2

，0），
即e=

c

a

=

2

，c=2

2

，
則a=b=2，
即有雙曲線的方程為x²-y²=4，
頂點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），
設(shè)P的坐標(biāo)為（s，t）（s＞2，t＞0），
則m=tan∠PA₁A₂+tan∠PA₂F₂=

t

s+2

+

t

s-2

=

2st

s2-4

，
由s²-t²=4，可得s²-4=t²，
即m=

2s

t

，
可令s=2secα，t=2tanα（α為銳角），
則m=

2secα

tanα

=

2

cosα

•

cosα

sinα

=

2

sinα

＞2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的運(yùn)用，運(yùn)用雙曲線的參數(shù)方程和同角三角函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．