Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-2，2]）的圖象過原點(diǎn)，且在x=±1處的切線的傾斜角均為，現(xiàn)有以下三個(gè)命題：
①f（x）=x³-4x（x∈[-2，2]）；
②f（x）的極值點(diǎn)有且只有一個(gè)；　　　　　
③f（x）的最大值與最小值之和為零．
其中真命題的序號是________．

Answer 1

①③
分析：先根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a、b、c的方程組并解之得a=0，b=-4，c=0，由此得到①是真命題；對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可得在區(qū)間[-2，2]上導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)也就有兩個(gè)極值點(diǎn)，故②為假命題；根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得f（x）的最大值與最小值之和為零，故③為真命題．由此可得正確答案．
解答：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-2，2]）的圖象過原點(diǎn)，
∴f（0）=c=0，得f（x）=x³+ax²+bx
對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3x²+2ax+b，結(jié)合題意知f'（1）=f'（-1）=tan=-1
∴3+2a+b=3-2a+b=-1，解之得a=0，b=-4，
對于①，函數(shù)解析式為f（x）=x³-4x（x∈[-2，2]），故①是真命題；
對于②，因?yàn)閒'（x）=3x²-4=3（x+）（x-），f'（x）在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
故f（x）的極值點(diǎn)有兩個(gè)，得②為假命題；
對于③，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-4x是奇函數(shù)，所以若它在[-2，2]上的最大值為f（m）=M，則它在[-2，2]上的最小值必為f（-m）=-M，
所以f（x）的最大值與最小值之和為零，③是真命題．
故答案為：①③
點(diǎn)評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)的奇偶性、用導(dǎo)數(shù)切線的斜率和函數(shù)極值的求法等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．