設(shè)是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,對任意
都有
成立, (其中
、
、
是常數(shù)).
(1)當(dāng),
,
時,求
;
(2)當(dāng),
,
時,
①若,
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“
數(shù)列”.
如果,試問:是否存在數(shù)列
為“
數(shù)列”,使得對任意
,都有
,且
.若存在,求數(shù)列
的首項(xiàng)
的所
有取值構(gòu)成的集合;若不存在,說明理由.
(1)=
;(2)①
;②存在,首項(xiàng)
的所有取值構(gòu)成的集合為
.
【解析】
試題分析:(1)要求,大多數(shù)時候要先求
,本題實(shí)質(zhì)就是有關(guān)系式
,那么我們可以用
代
得
,兩式相減,可得出
與
的關(guān)系,本題正好得到數(shù)列
是等比數(shù)列,故易求得
和
;(2) 實(shí)質(zhì)上的關(guān)系式是
,這讓我們聯(lián)想到數(shù)列
是等差數(shù)列,這里難點(diǎn)就在于證明
是等差數(shù)列,證明方法是把等式
中的
用
換得到一個式子,兩式相減可得
,此式中含有常數(shù)
,故再一次用
代換此式中的
,兩式相減可消去
得數(shù)列
的連續(xù)三項(xiàng)
的關(guān)系,可證得
是等差數(shù)列,那么這里①的通項(xiàng)公式易求;對于②這類問題總是假設(shè)存在,然后去求,假設(shè)存在時,可知數(shù)列公差是2,即
,由于它是“
數(shù)列”,故任意兩項(xiàng)和還是數(shù)列中的項(xiàng),即
,可得
是偶數(shù),又由
,得
,娵
,從而
,下面對
的值一一驗(yàn)證是否符合已知條件
,
試題解析:(1)當(dāng),
,
時,由
得
①
用去代
得,
,
②
②—①得,,
,
在①中令得,
,則
0,∴
,
∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴=
(2)當(dāng),
,
時,
, ③
用去代
得,
, ④
④—③得,
, ⑤
用去代
得,
, ⑥
⑥—⑤得,,即
,
∴數(shù)列是等差數(shù)列.∵
,
,
∴公差,∴
易知數(shù)列是等差數(shù)列,∵
,∴
.
又是“
數(shù)列”,得:對任意
,必存在
使
,
得,故
是偶數(shù),
又由已知,,故
一方面,當(dāng)時,
,對任意
,
都有
另一方面,當(dāng)時,
,
,
則,
取,則
,不合題意.
當(dāng)時,
,
,則
,
當(dāng)時,
,
,
,
又,∴
或
或
或
所以,首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為
(其他解法,可根據(jù)【解】的評分標(biāo)準(zhǔn)給分)
考點(diǎn):(1)已知與
的關(guān)系,求
和
;(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)滿足
,且
(1)當(dāng)時,求
的表達(dá)式;
(2)設(shè),
,求證:
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè),對每一個
,在
與
之間插入
個
,得到新數(shù)列
,設(shè)
是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,試問是否存在正整數(shù)
,使
?若存在求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設(shè)為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,對任意的
N
,都有
為常數(shù),且
.(1)求證:數(shù)列
是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的公比
,數(shù)列
滿足
,
N
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;(3)在滿足(2)的條件下,求證:數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆廣東省“十�!备呷谝淮温�(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,對任意的
,都有
(
為正常數(shù)).
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)數(shù)列滿足
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)在滿足(2)的條件下,求數(shù)列的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆湖北省咸寧赤壁市期中新四校聯(lián)考高一(理科)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,
,
.
⑴求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
⑵設(shè)是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,求使
對所有的
都成立的最大正整數(shù)
的值. (本題滿分12分)
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