Question

已知函數(shù)f(x)=ax2+

1

x

-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=g（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x₁、x₂，總有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，則稱函數(shù)y=g（x）為區(qū)間D上的“凸函數(shù)”．試證當(dāng)a≥0時，f（x）為“凸函數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．
（2）這是一道研究“凸函數(shù)”問題，本題的關(guān)鍵是證明出

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，這需要充分利用不等式的性質(zhì)以及基本不等式進(jìn)行放縮與轉(zhuǎn)化．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=ax2+

1

x

-2lnx，得f′(x)=2ax-

1

x2

-

2

x

．（2分）
由函數(shù)f（x）為[1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2ax-

1

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

1

2x3

+

1

x2

在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=

1

2x3

+

1

x2

，上述問題等價于a≥g（x）_max．
而g（x）=

1

2x3

+

1

x2

為在[1，+∞）上的減函數(shù)，則g(x)max=g(1)=

3

2

．
于是a≥

3

2

為所求．（6分）
（Ⅱ）證明：由f(x)=ax2+

1

x

-2lnx，
得

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a•

x 2 1 + x 2 2

2

+

1

2

•(

1

x1

+

1

x2

)-(lnx1+lnx2)
=a•

x 2 1 + x 2 2

2

+

x1+x2

2x1x2

-ln(x1x2)．f(

x1+x2

2

)=a•(

x1+x2

2

)2+

2

x1+x2

-ln(

x1+x2

2

)2．
而

x 2 1 + x 2 2

2

≥

1

4

[(

x

2 1

+

x

2 2

)+2x1x2]=(

x1+x2

2

)2．①
∵a≥0，∴a•

x 2 1 + x 2 2

2

≥a•(

x1+x2

2

)2．（9分）
又（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴

x1+x2

2x1x2

≥

2

x1+x2

．②（11分）
∵x1x2≤(

x1+x2

2

)2，∴ln(x1x2)≤ln(

x1+x2

2

)2．
∴-ln(x1x2)≥-ln(

x1+x2

2

)2．③（13分）
由①、②、③，得a•

x 2 1 + x 2 2

2

+

x1+x2

2x1x2

-ln(x1x2)≥a•(

x1+x2

2

)2+

2

x1+x2

-ln(

x1+x2

2

)2．
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，從而由凸函數(shù)的定義可知函數(shù)f（x）為凸函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，本題包含了對新定義的概念的理解，是一道創(chuàng)新題．