函數(shù)y=f(x),x∈[-5,5]的圖象如圖所示,該曲線在原點(diǎn)處的切線的方程為y=x,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)是減函數(shù).給出下列四個(gè)命題:
①A,B是該圖象上的任意兩點(diǎn),那么直線AB的斜率kAB∈(0,1);
②點(diǎn)P是該圖象在第一象限內(nèi)的部分上的點(diǎn),那么直線OP的斜率kOP∈(0,1);
③對(duì)于?x1,x2∈[-5,5],f(x1)+f(x2)≤2f()恒成立;
④對(duì)于?x∈[-5,5],f(x)≤x.
其中所有真命題的序號(hào)是( )

A.①②③
B.②③④
C.②④
D.①③
【答案】分析:對(duì)于①A,B是該圖象上的任意兩點(diǎn),直線AB的斜率可以用AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)到圖象上點(diǎn)的切線斜率近似代替,根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)減函數(shù),知當(dāng)x<0時(shí)f′(x)>f′(0)=1,故①不正確;再結(jié)合選項(xiàng),說明應(yīng)在B、C當(dāng)中選一個(gè),問題的焦點(diǎn)集中到③這個(gè)命題是否正確了.利用函數(shù)圖象的凹凸性不難發(fā)現(xiàn)命題③是正確的,這樣就可以選到正確答案了.
解答:解:先看命題①:若A,B是該圖象上的任意兩點(diǎn),直線AB的斜率可以用AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)到圖象上點(diǎn)的切線斜率近似代替,
由已知條件曲線在原點(diǎn)處的切線的方程為y=x,說明f′(0)=1,再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)減函數(shù)知
當(dāng)x<0時(shí)f′(x)>f′(0)=1,說明存在-5<x<0時(shí)直線AB的斜率kAB>1,故①不正確;
再結(jié)合選項(xiàng):只有B、C當(dāng)中沒有認(rèn)為①正確,說明應(yīng)在B、C當(dāng)中選一個(gè),
問題的焦點(diǎn)集中到③這個(gè)命題是否正確了.
利用函數(shù)圖象的凹凸性:函數(shù)f(x)是一個(gè)凸函數(shù),說明滿足不等式:
對(duì)照一下命題③,說明命題③是正確的,因此可得正確答案為②③④.
故選B
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的凹凸性和函數(shù)恒成立等問題,綜合性較強(qiáng),是一道難題.此問題還著重考查學(xué)生觀察圖形,分析問題和解決問題的能力,不失為一道優(yōu)良的考題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃埔區(qū)一模)對(duì)于函數(shù)y=f(x)與常數(shù)a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,則稱(a,b)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,則稱(a,b)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽+,且f(1)=3.
(1)若(1,1)是f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”,求f(2n)(n∈N*);
(2)若(-2,0)是f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”,且當(dāng)x∈[1,2)時(shí)f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在區(qū)間[1,2n)(n∈N*)上的最大值與最小值;
(3)若f(x)是增函數(shù),且(2,-2)是f(x)的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”,試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小,并說明理由.
①f(2-n)與2-n+2(n∈N*);
②f(x)與2x+2(x∈(0,1]).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(選作題)定義在(-1,1)上的函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明;
(2)如果當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),有f(x)>0,求證:f(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù);
(3)在(2)的條件下解不等式:f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)>0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•順義區(qū)二模)對(duì)于定義域分別為M,N的函數(shù)y=f(x),y=g(x),規(guī)定:
函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x),當(dāng)x∈M且x∈N
f(x),當(dāng)x∈M且x∉N
g(x),當(dāng)x∉M且x∈N

(1)若函數(shù)f(x)=
1
x+1
,g(x)=x2+2x+2,x∈R
,求函數(shù)h(x)的取值集合;
(2)若f(x)=1,g(x)=x2+2x+2,設(shè)bn為曲線y=h(x)在點(diǎn)(an,h(an))處切線的斜率;而{an}是等差數(shù)列,公差為1(n∈N*),點(diǎn)P1為直線l:2x-y+2=0與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(an,bn).求證:
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常數(shù),且α∈[0,2π],請(qǐng)問,是否存在一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)及一個(gè)α的值,使得h(x)=cosx,若存在請(qǐng)寫出一個(gè)f(x)的解析式及一個(gè)α的值,若不存在請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•浦東新區(qū)二模)已知函數(shù)y=f(x),x∈D,如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,對(duì)于給定的非零常數(shù)m,總存在非零常數(shù)T,恒有f(x+T)>m•f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的m級(jí)類增周期函數(shù),周期為T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的m級(jí)類周期函數(shù),周期為T.
(1)試判斷函數(shù)f(x)=log
12
(x-1)
是否為(3,+∞)上的周期為1的2級(jí)類增周期函數(shù)?并說明理由;
(2)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax是[3,+∞)上的周期為1的2級(jí)類增周期函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)下面兩個(gè)問題可以任選一個(gè)問題作答,如果你選做了兩個(gè),我們將按照問題(Ⅰ)給你記分.
(Ⅰ)已知T=1,y=f(x)是[0,+∞)上m級(jí)類周期函數(shù),且y=f(x)是[0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=2x,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(Ⅱ)已知當(dāng)x∈[0,4]時(shí),函數(shù)f(x)=x2-4x,若f(x)是[0,+∞)上周期為4的m級(jí)類周期函數(shù),且y=f(x)的值域?yàn)橐粋(gè)閉區(qū)間,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•盧灣區(qū)一模)將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(即(0,0))對(duì)稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))成中心對(duì)稱(注:若a不屬于x的定義域時(shí),則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo),并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實(shí)數(shù),試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并說明理由;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(diǎn)(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對(duì)稱,求t的值.

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