Question

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=6

2

，E為AD的中點（圖一）．沿BE將△ABE折起，使平面ABE⊥平面BECD（圖二），且F為AC的中點．
（1）求證：FD∥平面ABE；
（2）求證：AC⊥BE．

Answer 1

分析：（1）證明平面DFM∥平面ABE，可得FD∥平面ABE．在圖2中，設(shè)M為BC的中點，連DM、MF，可證MF∥平面ABE，MD∥平面ABE；
（2）在矩形ABCD（圖1）中，連AC，交BE于G，利用向量方法證明AC⊥BE，從而可知BE⊥平面AGC．

解答：證明：（1）在圖2中，設(shè)M為BC的中點，連DM、MF．
∵F為AC的中點，M為BC的中點
∴MF∥AB…（2分）
∵M(jìn)F?平面ABE
∴MF∥平面ABE
又∵BM∥DE且BM=DE，∴四邊形BMDE為平行四邊形
∴MD∥BE
∵M(jìn)D?平面ABE
∴MD∥平面ABE
∵M(jìn)F∩MD=M
∴平面DFM∥平面ABE…（4分）
∵FD?平面DFM
∴FD∥平面ABE；…（6分）
（2）在矩形ABCD（圖1）中，連AC，交BE于G．
∴

BE

•

AC

=(

BA

+

AE

)•(

AB

+

BC

)=-

AB

2+

AE

•

BC

=-36+36=0
∴AC⊥BE…（8分）
∴在圖二中，AG⊥BE，CG⊥BE，AG∩CG=G
∴BE⊥平面AGC …（10分），
又∵AC?平面AGC，∴AC⊥BE．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直、線線垂直，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判斷方法．