Question

【題目】如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，兩點．

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；

（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，，過P、作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若，求圓Q的標準方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】試題分析：（1）先將點坐標代入橢圓方程，再與離心率聯立方程組解得a,b，（2）根據題意得點P是橢圓上到點的距離最小的點，因此先建立橢圓上任意一點到Q距離的函數關系式，根據二次函數性質確定最小值取法得，再根據得P點縱坐標，最后根據P點在橢圓上解得，即得圓Q的標準方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，在橢圓上，

則，從而

由，得，從而．

故該橢圓的標準方程為

（Ⅱ）由橢圓的對稱性，可設．

又設是橢圓上任意一點，則

設，由題意知，點P是橢圓上到點Q的距離最小的點，

因此，上式當時取最小值．

又因為，∴上式當時取最小值，

從而，且．因為，且，

∴，即

由橢圓方程及，得，

解得，從而．

故這樣的圓有兩個，其標準方程分別為