Question

某校組建由2名男選手和n名女選手的“漢字聽(tīng)寫大會(huì)”集訓(xùn)隊(duì)，每次比賽均從集訓(xùn)隊(duì)中任選2名選手參賽．
（Ⅰ）若n=2，記某次參賽被選中的男選手人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若n≥2，該校要參加三次“漢字聽(tīng)寫大會(huì)”比賽，每次從集訓(xùn)隊(duì)中選2名選手，試問(wèn)：當(dāng)n為何值時(shí)，三次比賽恰有一次參賽選手性別相同的概率取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）n=2時(shí)，X=0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得分布列，從而可求數(shù)學(xué)期望；
（2）利用三次比賽恰有一次參賽選手性別相同，可得P=

1

3

時(shí)，概率取得最大值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）n=2時(shí)，X=0，1，2，則
P（X=0）=

C 0 2 C 2 2

C 2 4

=

1

6

，P（X=1）=

C 1 2 C 1 2

C 2 4

=

2

3

，P（X=2）=

C 0 2 C 2 2

C 2 4

=

1

6

，
∴X的分布列

X	0	1	2
P	1 6	2 3	1 6

EX=0×

1

6

+1×

2

3

+2×

1

6

=1；
（Ⅱ）一次比賽參賽選手性別相同的概率為P=

C 2 2 + C 2 n

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

，
∴f（P）=

C

1 3

P(1-P)2=3P³-6P²+3P，
∴f′（P）=3（P-1）（3P-1），
∴P=

1

3

時(shí)，f（P）取最大值，
∴

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

，∴n=2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．