Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x--alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=3時，f′（x）=1+-=，
令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
當(dāng)0＜x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，
所以當(dāng)x=1時f（x）取得極大值f（1）=-1，當(dāng)x=2時f（x）取得極小值f（2）=1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=1+-=，
令g（x）=x²-ax+2，其判別式△=a²-8，
①當(dāng)|a|時，△≤0時，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜-2時，△＞0時，g（x）=0的兩根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＞2時，△＞0，g（x）=0的兩根為：x₁=，x₂=，且都大于0，
當(dāng)0＜x＜x₁或x＞x₂時f′（x）＞0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）和（，+∞）上遞增，在（，）上遞減，
綜上，當(dāng)a時f（x）（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞時，f（x）在（0，）和（，+∞）上遞增，在（，）上遞減；
分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，當(dāng)a=3時在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f′（x）=，令g（x）=x²-ax+2，其判別式△=a²-8，按△≤0時，△＞0時兩種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，△＞0時再按根與0的大小討論，即共分三種情況進(jìn)行討論解不等式即可；
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．