【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若是等邊三角形，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一證明和即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解二面角.

（1）證明：連接.

因?yàn)?/span>，，，所以，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，且，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

由（1）可知平面，則，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以.

因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

所以，，，，則，.

設(shè)平面的法向量，

則，令，得.

易知平面的一個(gè)法向量為，

記二面角為，則，

故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若函數(shù)僅在處取得極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，，求證：.

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【題目】下面定義一個(gè)同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的標(biāo)志為：“連續(xù)次考試成績(jī)均不低于分”.現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)連續(xù)次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲同學(xué)：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；

②乙同學(xué)：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為；

③丙同學(xué)：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為，總體方差為；

則可以判定數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀同學(xué)為（）

A. 甲、丙B. 乙、丙C. 甲、乙D. 甲、乙、丙

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【題目】已知正方形邊長(zhǎng)為，若在正方形邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn)，使，則的取值范圍為_____________.

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【題目】給出下列四個(gè)說法，其中正確的是（ ）

A.命題“若，則”的否命題是“若，則”

B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件

C.命題“，”的否定是“，”

D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題

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【題目】已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．

(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；

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【題目】在某公司舉行的一次真假游戲的有獎(jiǎng)競(jìng)猜中，設(shè)置了“科技”和“生活”這兩類試題，規(guī)定每位職工最多競(jìng)猜3次，每次競(jìng)猜的結(jié)果相互獨(dú)立．猜中一道“科技”類試題得4分，猜中一道“生活”類試題得2分，兩類試題猜不中的都得0分．將職工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就認(rèn)為通過游戲的競(jìng)猜，立即停止競(jìng)猜，否則繼續(xù)競(jìng)猜，直到競(jìng)猜完3次為止．競(jìng)猜的方案有以下兩種：方案1：先猜一道“科技”類試題，然后再連猜兩道“生活”類試題；

方案2：連猜三道“生活”類試題．

設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．

(1)你認(rèn)為職工甲選擇哪種方案通過競(jìng)猜的可能性大?并說明理由．

(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說明理由．

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程；

（3）求面積的最大值.

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