Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A（0，b），原點(diǎn)O到直線FA的距離為．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若點(diǎn)F關(guān)于直線l：2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)P在圓O：x²+y²=4上，求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)F（-ae，0），點(diǎn)A（0，b）及得直線FA的方程為，由原點(diǎn)O到直線FA的距離為，知，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F關(guān)于直線l：2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則有，由此入手能夠推導(dǎo)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由點(diǎn)F（-ae，0），點(diǎn)A（0，b）及得直線FA的方程為，即，（2分）
∵原點(diǎn)O到直線FA的距離為，
∴．（5分）
故橢圓C的離心率．（7分）
（2）解：設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F關(guān)于直線l：2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則有（10分）
解之，得．∵P在圓x²+y²=4上
∴，
∴a²=8，b²=（1-e²）a²=4．（13分）
故橢圓C的方程為，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法、求解橢圓方程的方法和點(diǎn)的坐標(biāo)的求解，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．