（5分）設(shè)P1，P2，…Pn為平面α內(nèi)的n個點，在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，…Pn的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，…Pn的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現(xiàn)有下列命題：

①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；

②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；

③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；

④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．

其中的真命題是　  　（寫出所有真命題的序號）．

 

【答案】

①④

【解析】①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，根據(jù)兩點之間線段最短，則C是A，B，C的中位點，正確；

②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點到三個頂點的距離之和為7，

∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；

③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點，故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；

④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點O，P是任意一點，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得

PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，

∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．

故答案為：①④．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•廣州二模）已知曲線C：y=ex（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）在點P（1，e）處的切線與x軸交于點Q1，過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1，曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2，過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2，…，依次下去得到一系列點P1、P2…、Pn，設(shè)點Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）（n∈N*）．
（Ⅰ）分別求xn與yn的表達式；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點，求
n
i=1
O
P
2
i
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•四川）設(shè)P1，P2，…Pn為平面α內(nèi)的n個點，在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，…Pn的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，…Pn的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現(xiàn)有下列命題：
①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是
①④
①④
（寫出所有真命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：填空題

設(shè)P1，P2，…Pn為平面α內(nèi)的n個點，在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，…Pn的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，…Pn的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現(xiàn)有下列命題：
①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是______（寫出所有真命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

設(shè)P1，P2，…Pn為平面α內(nèi)的n個點，在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，…Pn的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，…Pn的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現(xiàn)有下列命題：
①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是    （寫出所有真命題的序號）．

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