Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求E的方程
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)O，若存在，求出對(duì)應(yīng)直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)F（c，0），由條件知， ，解得c= ，又 ，

∴a=2，b2=a2﹣c2=1，

∴E的方程為：

（2）

解：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；

當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

把y=kx﹣2代入 ，化簡(jiǎn)得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

由△=16（4k2﹣3）＞0，得 ，即k＜﹣ 或k＞ ．

， ，

∴ ．

若存在以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)O，則 ，

即 ，即 ，

∴k2=4，符合△＞0，

∴存在k=±2，符合題意，

此時(shí)l：y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2

【解析】（1）設(shè)出F，由直線(xiàn)AF的斜率為 求得c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx﹣2代入橢圓方程化簡(jiǎn)，由判別式大于0求得k的范圍，若存在以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)O，求出 ，即 ，得到k2=4，符合△＞0，進(jìn)一步求出k值，則直線(xiàn)方程可求．