求下列函數(shù)的解析式.
(1)已知f(x)=x2+2x,求f(2x+1)
(2)已知f(x)為二次函數(shù),且滿足f (0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)
(3)已知2f(
1x
)+f(x)=x(x≠0),求f(x)
(4)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=x(2-x),求函數(shù)f(x)的解析式.
分析:(1)用2x+1整體替換式中的x,化簡可得f(2x+1);(2)待定系數(shù)法:設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a≠0,由f(0)=1可得c=1,化簡f(x+1)-f(x),比較系數(shù)可得a,b的方程組,解方程組可得a,b,進而可得函數(shù)解析式;(3)由2f(
1
x
)+f(x)=x,可得2f(x)+f(
1
x
)=
1
x
,兩式聯(lián)立消去f(
1
x
)可得f(x);(4)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0,當(dāng)x>0時,-x<0,代入已知結(jié)合函數(shù)奇偶性可得此時的解析式,綜合可得.
解答:解:(1)∵f(x)=x2+2x,
∴f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)
=(2x+1)(2x+1+2)=(2x+1)(2x+3)
=4x2+8x+3
(2)由題意設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a≠0,
由f(0)=1可得c=1,
∴f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2ax+a+b=2x,
比較系數(shù)可得
2a=2
a+b=0
,解得a=1,b=-1,
∴f(x)=x2-x+1
(3)∵2f(
1
x
)+f(x)=x,
∴2f(x)+f(
1
x
)=
1
x
,
兩式聯(lián)立消去f(
1
x
)可得f(x)=
2
3x
-
x
3

(4)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0,
當(dāng)x>0時,-x<0,∴f(-x)=-x(2+x),
∴-f(x)=f(-x)=-x(2+x),
解得f(x)=x(2+x)
綜上可得f(x)=
x(2-x)   x<0
0                    x=0
x(2+x)     x>0
點評:本題考查函數(shù)解析式的求解,涉及待定系數(shù)法和函數(shù)的奇偶性和奇函數(shù)的性質(zhì),屬中檔題.
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1
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x
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