設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；

（2）證明：；

（3）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.

（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù).               …… 2分

   對于函數(shù)，設(shè) ，則

   ，

   ，

   函數(shù)在上單調(diào)遞增.               …… 4分

（2） 原式左邊

                       

     

      .                                           …… 6分

    又原式右邊.                       

      .               …… 8分

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

     的最大值為，最小值為.

    當(dāng)時(shí)，， 函數(shù)的最大、最小值均為1.

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增.

     的最大值為，最小值為.

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

     的最大值為，最小值為.                  …… 11分

    下面討論正整數(shù)的情形：

    當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對任意且

     ，

    以及 ，

     ，從而 .

     在上為單調(diào)遞增，則

    的最大值為，最小值為.                    …… 14分

    當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，一方面有 .

    另一方面，由于對任意正整數(shù)，有

    ，

    .

 函數(shù)的最大值為，最小值為.     

    綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為.

              當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為. …… 18分



解析:

同答案

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相關(guān)習(xí)題

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（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年山東省淄博市高三3月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．

（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，

即，求；

（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使的的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省高三第四次（4月）周測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn)并判斷是極大值還是極小值；

（Ⅲ）求證對任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；

（2）證明：；

（3）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.

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