Question

已知函數(shù)f（x）=x-，x∈[0，+∞），數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n=1，2，3…）
（I）設(shè)f′（x）=，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；
（II）證明：0＜a_n+1＜a_n≤1；
（III）記T_n=++…+，證明：T_n＜1．

Answer 1

（I）解：∵f′（x）=，f′（x）=，
∴g（x）=（1+x）²-1+ln（1+x）
∴g′（x）=2（1+x）+
當(dāng)x≥0時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0，即g（x）的最小值為0；
（II）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₂=f（a₁）=＜a₁=1，
又g（x）≥0，則f′（x）=≥0
所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，即f（x）≥f（0）=0
則a₂=f（a₁）＞f（0）=0，所以0＜a₂＜a₁≤1；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即0＜a_k+1＜a_k≤1，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+2=f（a_k+1）=＜a_k+1≤1
∵f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴a_k+2=f（a_k+1）＞f（0）=0
∴0＜a_k+2＜a_k+1≤1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②知，0＜a_n+1＜a_n≤1；
（III）證明：由（II）0＜a_n+1＜a_n≤1得＞，即
故
則T_n=++…+
＜++…+=＜=a₁=1
所以T_n＜1成立．
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，求得g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，即可求g（x）在[0，+∞）上的最小值；
（II）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，證題中注意f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，及掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟；
（III）證明，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．