Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-
（1）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0恒成立；
（2）若函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)相異零點(diǎn)x₁、x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）證明：，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）遞增，∴g（x）＞g（1）=0
∴x＞1時(shí)，g（x）＞0恒成立．
（2）f（x）=lnx-ax的定義域是（0，+∞），f′（x）==，
由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得，
∴f（x）在上遞增，在上遞減．
∴，欲使函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，則只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴．
故所求a的范圍是．
（3）因?yàn)閒（x）有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，又由于x＞0，
故不妨令x₁＞x₂＞0，且有l(wèi)nx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
要證
令，則t＞1，故只要證明時(shí)恒成立，
而由（1）知t＞1時(shí)，恒成立，即lnt＞恒成立，從而證明．
故x₁x₂＞e²．
分析：（1）可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）_min＞0，從而可用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性、最值，再結(jié)合其圖象即可得出a的限制條件；
（3）不妨令x₁＞x₂＞0，用分析法對(duì)x₁x₂＞e²進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后可構(gòu)造函數(shù)借助（1）問結(jié)論得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，對(duì)于恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．本題（3）問難度較大，需要恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)借助（1）問結(jié)論解決．