Question

已知關(guān)于x的不等式|x-2|-|2x-1|≤|a|+|a-1|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式的解集；             
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即|x-2|-|2x-1|≤1，分類討論，求得它的解集．
（2）先利用單調(diào)性求得|x-2|-|2x-1|的最大值為f（

1

2

）=

3

2

，結(jié)合題意可得 |a|+|a-1|≥

3

2

，再利用絕對(duì)值的意義求得關(guān)于a的絕對(duì)值不等式的解集．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即|x-2|-|2x-1|≤1，
則：當(dāng)x≥2時(shí)，可得（x-2）-（2x-1）≤1，
求得x≥-2，故有x≥2．
當(dāng)

1

2

＜x＜2時(shí)，由不等式可得(2-x)-(2x-1)≤1⇒x≥

2

3

，故有

2

3

≤x＜2．
x≤

1

2

時(shí)，由不等式可得（2-x）-（1-2x）≤1，求得x≤0，故有 x≤0．
綜上：不等式的解集為{x|x≤0或x≥

2

3

}．
（2）∵由于f（x）=|x-2|-|2x-1|=

-x-1 ，x≥2 x+1 ， 1 2 ≤x＜2 x+1 ，x＜ 1 2

 的最大值為f（

1

2

）=

3

2

，
|x-2|-|2x-1|≤|a|+|a-1|恒成立，故有 |a|+|a-1|≥

3

2

．
由于|a|+|a-1|表示數(shù)軸上的a對(duì)應(yīng)點(diǎn)到0、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-

1

4

 和

5

4

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到0、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于

3

2

，
∴a∈(-∞，-

1

4

]∩[

5

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．