Question

設命題p：關于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一個根大于零，另一根小于零；命題q：不等式2x²+x＞2+ax對?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：對于命題P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，由于關于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一個根大于零，另一根小于零，可得f（0）＜0；對于命題q：由于x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x-

2

x

+1，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的取值范圍；由于命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，可得P與q必然一真一假．

解答： 解：對于命題P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，
∵關于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一個根大于零，另一根小于零，
∴f（0）＜0，即：a-2＜0，解得：命題p為真時a＜2；
對于命題q：∵x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x-

2

x

+1，
令g(x)=2x-

2

x

+1，由g（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，故g（x）∈（-∞，1）．
又不等式2x²+x＞2+ax對?x∈（-∞，-1）上恒成立，∴命題q為真時a≥1．
∵命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，∴P與q必然一真一假．
若p真q假，得a＜1；
若p假q真，得a≥2．
綜上可得：a＜1或a≥2．

點評：本題考查了函數(shù)的零點、恒成立問題等價轉(zhuǎn)化方法、函數(shù)的單調(diào)性、復合命題的真假判斷方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．