直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(I)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(II)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】
分析:(Ⅰ)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x
2-y
2=1后,由題意知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/0.png)
,由此可知實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x
1,y
1)、(x
2,y
2),由題意得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/1.png)
,由此入手可求出k的值.
解答:解:(Ⅰ)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x
2-y
2=1后,整理得(k
2-2)x
2+2kx+2=0.①
依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn),故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/2.png)
解得k的取值范圍是-2<k<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/3.png)
.
(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x
1,y
1)、(x
2,y
2),則由①式得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/4.png)
②
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0).
則由FA⊥FB得:(x
1-c)(x
2-c)+y
1y
2=0.
即(x
1-c)(x
2-c)+(kx
1+1)(kx
2+1)=0.
整理得(k
2+1)x
1x
2+(k-c)(x
1+x
2)+c
2+1=0.③
把②式及
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代入③式化簡(jiǎn)得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/6.png)
.
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/7.png)
可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180450994668045/SYS201310241804509946680019_DA/8.png)
使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系,及其綜合應(yīng)用能力.