Question

【題目】已知在函數(shù)（）的所有切線中，有且僅有一條切線與直線垂直．

（1）求的值和切線的方程；

（2）設曲線在任一點處的切線傾斜角為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】試題分析：（1）由已知可得函數(shù)的導函數(shù)，即切線斜率的函數(shù)，因為在曲線的所有切線中，有且僅有一條切線與直線垂直，所以導函數(shù)只有一個實根，進而易得的值與切線的方程．（2）因為在曲線的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線垂直，顯然切線斜率從而可以解出的范圍．

試題解析：

（1），由題意知，方程有兩個相等的根，

∴，∴．

此時方程化為，得，

解得切點的縱坐標為，

∴切線的方程為，即．

（2）設曲線上任一點處的切線的斜率為（由題意知存在），

則由（1）知，

∴由正切函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍為或．