Question

8．甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為15萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為5萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+21x+1（0≤x≤5）}\\{56（x＞5）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：
（1）寫出利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）
（2）求甲廠可獲得利潤的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）=R（x）-G（x），對x討論0≤x≤5，x＞5即可得到；
（2）分別討論0≤x≤5，x＞5的函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值

解答 解：（1）由題意得G（x）=15+5x，
由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x}^{2}+21x+1（0≤x≤5）\\ 56（x＞5）\end{array}\right.$，
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x}^{2}+16x-14（0≤x≤5）\\-5x+41（x＞5）\end{array}\right.$，
（2）當x＞5時，∵函數(shù)y=f（x）遞減，
∴f（x）＜-25+41=16（萬元），
當0≤x≤5時，f（x）=-2（x-4）²+18，
當x=4時，f（x）有最大值為18（萬元）．
答：當工廠生產(chǎn)4百臺時，可使贏利最大為18（萬元）．

點評 本題考查分段函數(shù)的求法和運用：求單調(diào)性和最值，考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎(chǔ)題．