（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求證：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（Ⅱ）求函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．
分析：（Ⅰ）【證法1】：作差比較法，作差再進(jìn)行因式分解，與0比較即可得到結(jié)論；
【證法2】：綜合法，利用基本不等式進(jìn)行專門；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
≥（1-x）+x=1，即可求得函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0＜x＜1)的最小值．
解答：（Ⅰ）【證法1】：∵
a2
b
+
b2
a
-(a+b)=
a3+b3-a2b-ab2
ab
=
a3-a2b-(ab2-b3)
ab
=
a2(a-b)-b2(a-b)
ab
=
(a-b)2(a+b)
ab

∵a＞0，b＞0，∴
(a-b)2(a+b)
ab
≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立．
∴
a2
b
+
b2
a
≥a+b
【證法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
a2
b
+
b2
a
)=a2+b2+
a3
b
+
b3
a
≥a2+b2+2ab=(a+b)2
∴
a2
b
+
b2
a
≥a+b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立．
（Ⅱ）解：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的結(jié)論
函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
≥（1-x）+x=1，當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x即x=
1
2
時(shí)等號成立，
∴函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0＜x＜1)的最小值為1．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題式掌握不等式的證明方法是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b∈R，且a＞b，則下列不等式中恒成立的是（　�。�
A、a2＞b2
B、（
1
2
）a＜（
1
2
）b
C、lg（a-b）＞0
D、
a
b
＞1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

.已知a，b∈R，若關(guān)于x的方程x2-ax+b=0的實(shí)根x1和x2滿足-1≤x1≤1，1≤x2≤2，則在平面直角坐標(biāo)系aOb中，點(diǎn)（a，b）所表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P到曲線（a+3）2+（b-2）2=1上的點(diǎn)Q的距離|PQ|的最小值為（　�。�
A、3
2
-1
B、2
2
-1
C、3
2
+1
D、2
2
+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b∈R+，a+b=2，求ab最大值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b∈R，矩陣A=
-1a
b3
所對應(yīng)的變換TA將直線2x-y-3=0變換為自身．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）計(jì)算A2
-1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b∈R+，若向量
m
=(2，12-2a)與向量
n
=(1，2b)共線，則
2a+b
+
a+5b
的最大值為（　�。�
A、6
B、4
C、3
D、
3

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