Question

下表給出的是由n×n（n≥3，n∈N^*））個(gè)正數(shù)排成的n行n列數(shù)表，a_ij表示第i行第j列的一個(gè)數(shù)，表中第一列的數(shù)從上到下依次成等差數(shù)列，其公差為d，表中各行，每一行的數(shù)從左到右依次都成等比數(shù)列，且所有公比相等，公比為q，已知a13=

1

4

， a23=

3

8

， a32=1．
（1）求a₁₁，d，q的值；
（2）設(shè)表中對角線上的數(shù)a₁₁，a₂₂，a₃₃，…，a_nn組成的數(shù)列為{a_n}，記T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，求使不等式2ⁿT_n＜4ⁿ-n-43成立的最小正整數(shù)n．

a11	a12	a13	…	a1n
a21	a22	a23	…	a2n
a31	a32	a33	…	a3n
…	…	…	…	…
an1	an2	an3	…	ann

Answer 1

分析：（1）已知a13=

1

4

， a23=

3

8

， a32=1．可得

a11q2= 1 4 (a11+d)q2= 3 8 (a11+2d)q=1

，從而可求a₁₁，d，q的值；
 （2）先表示出ann=an1qn-1=(n+1)(

1

2

)n，從而可求和，進(jìn)而可求使不等式2ⁿT_n＜4ⁿ-n-43成立的最小正整數(shù)n．

解答：解：（1）根據(jù)題意，∵a_ij表示第i行第j列的一個(gè)數(shù)，表中第一列的數(shù)從上到下依次成等差數(shù)列，其公差為d，表中各行，每一行的數(shù)從左到右依次都成等比數(shù)列，且所有公比相等，公比為q，
所以可得得

a11q2= 1 4 (a11+d)q2= 3 8 (a11+2d)q=1

，
∴a11=1，d=

1

2

，q=

1

2

（2）ann=an1qn-1=(n+1) (

1

2

)n
∵T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，
∴Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2++(n+1)(

1

2

)n
∴

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++(n+1)(

1

2

)n+1
兩式相減整理得：∴Tn=3-

n+3

2n

∴4ⁿ-3×2ⁿ-40＞0，∴n＞3
故使不等式2ⁿT_n＜4ⁿ-n-43成立的最小正整數(shù)n為4．

點(diǎn)評：本題以數(shù)列為載體，考查新定義，考查解方程組，考查錯(cuò)位相減法求和，有一定的綜合性．