如圖，已知曲線(xiàn)C：（a＞0），曲線(xiàn)C與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B且與x軸垂直，點(diǎn)S是直線(xiàn)l上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，線(xiàn)段SA與曲線(xiàn)C交于點(diǎn)T，線(xiàn)段TB與以線(xiàn)段SB為直徑的圓相交于點(diǎn)M．
（I）若點(diǎn)T與點(diǎn)M重合，求的值；
（II）若點(diǎn)O、M、S三點(diǎn)共線(xiàn)，求曲線(xiàn)C的方程．

【答案】分析：（I）設(shè)T（x，y），S（a，y1），由點(diǎn)A，T，S共線(xiàn)，確定直線(xiàn)方程，求得S的坐標(biāo)，利用點(diǎn)T與點(diǎn)M重合時(shí)，有BT⊥AS，kSA•kBT=-1，得a的值，再利用=AB2，即可求得結(jié)論；
（II）以線(xiàn)段SB為直徑的圓相交于點(diǎn)M點(diǎn)，又O、M、S三點(diǎn)共線(xiàn)，知BM⊥OS，∴BT⊥OS，由此可求a的值，從而可得曲線(xiàn)C的方程．
解答：解：（I）設(shè)T（x，y），S（a，y1），則，所以
由點(diǎn)A，T，S共線(xiàn)有：=，得：，即S（a，）
當(dāng)點(diǎn)T與點(diǎn)M重合時(shí)，有BT⊥AS，kSA•kBT=×=-1，得a=1．
∴=AB2=（2a）2=4；
（II）以線(xiàn)段SB為直徑的圓相交于點(diǎn)M點(diǎn)，又O、M、S三點(diǎn)共線(xiàn)，知BM⊥OS，∴BT⊥OS
∴kSO•kBT=×=-1，∴a2=2
∴所求曲線(xiàn)C的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定a的值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線(xiàn)C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．從C上的點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線(xiàn)，交Cn于點(diǎn)Pn，再?gòu)腜n作y軸的垂線(xiàn)，交C于點(diǎn)Qn+1（xn+1，yn+1）．設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（I）求a1，a2，a3的值；
（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)△PiQiQi+1（i∈N*）和面積為Si，記f(n)=
n
i=1
Si，求證f(n)＜
1
6
.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知曲線(xiàn)C：y=
1
x
在點(diǎn)P（1，1）處的切線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q1，過(guò)點(diǎn)Q1作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)P1，曲線(xiàn)C在點(diǎn)P1處的切線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q2，過(guò)點(diǎn)Q2作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)P2，…，依次得到一系列點(diǎn)P1、P2、…、Pn，設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)OPn的斜率為kn，求數(shù)列{nkn}的前n項(xiàng)和Sn，并證明Sn＜
4
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•南京二模）如圖，已知曲線(xiàn)C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．從C上的點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線(xiàn)，交Cn于點(diǎn)Pn，再?gòu)狞c(diǎn)Pn作y軸的垂線(xiàn)，交C于點(diǎn)Qn+1（xn+1，yn+1），設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（Ⅰ）求Q1，Q2的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知曲線(xiàn)C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
（n∈N*）．從C上的點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線(xiàn)，交Cn于點(diǎn)Pn，再過(guò)點(diǎn)Pn作y軸的垂線(xiàn)，交C于點(diǎn)Qn+1（xn+1，yn+1）設(shè)，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
（1）求點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)；
（2）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；
（3）記數(shù)列{an•yn+1} 的前n項(xiàng)和為Sn，求證sn＜
1
3
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線(xiàn)C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1）．取線(xiàn)段OQ的中點(diǎn)A1，過(guò)A1作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P1，過(guò)P1作y軸的垂線(xiàn)交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積．分別取線(xiàn)段OA1，P1B1的中點(diǎn)A2，A3，過(guò)A2，A3分別作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P2，P3，過(guò)P2，P3分別作y 軸的垂線(xiàn)交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個(gè)矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和．以此類(lèi)推，記an為2n-1個(gè)矩形面積之和，從而得數(shù)列{an}，設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn．
（Ⅰ） 求a2與an；
（Ⅱ） 求Sn，并證明Sn＜
13
．

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