已知橢圓E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），且E的離心率e=
1
2
．
（1）求E的方程；
（2）過圓O：x2+y2=
12
7
上任意一點(diǎn)P引O的切線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，求證：∠AOB為定值．
分析：（1）由橢圓E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），離心率e=
1
2
，知
c=1
e=
c
a
=
1
2
由此能求出E的方程．
（2）設(shè)過圓O：x2+y2=
12
7
上任意一點(diǎn)P的切線l的方程為y=kx+m，由點(diǎn)到直線的距離公式求得m=±
12
7
(k2+1)
，不妨取l方程為：y=kx+
12
7
(k2+1)
，聯(lián)立
y=kx+
12
7
(k2+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x+8k
12
7
(k2+1)
x+
48
7
k2-
36
7
=0，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出
OA
⊥
OB
，由此得到∠AOB=
π
2
為定值．
解答：解：（1）∵橢圓E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），離心率e=
1
2
，
∴
c=1
e=
c
a
=
1
2
，∴a=2，c=1，b2=4-1=3．
∴E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設(shè)過圓O：x2+y2=
12
7
上任意一點(diǎn)P的切線l的方程為y=kx+m，
則
||0+0+m|
k2+1
=
12
7
，解得m=±
12
7
(k2+1)
，
不妨取m=
12
7
(k2+1)
，則l的方程為：y=kx+
12
7
(k2+1)
，
聯(lián)立
y=kx+
12
7
(k2+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，
消去y，整理得（4k2+3）x+8k
12
7
(k2+1)
x+
48
7
k2-
36
7
=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
8k
12
7
(k2+1)
4k2+3
，x1x2=
48
7
k2-
36
7
4k2+3
，
∴y1y2=（kx1+
12
7
(k2+1)
）（kx2+
12
7
(k2+1)
）
=k2x1x2+k
12
7
(k2+1)
(x1+x2)+
12
7
(k2+1)
=
48
7
k4-
36
7
k2
4k2+3
-
96k2(k2+1)
7
4k2+3
+
12
7
(k2+1)
=
36
7
-
48
7
k2
4k2+3
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
48
7
k2-
36
7
4k2+3
+
36
7
-
48
7
k2
4k2+3
=0．
∴
OA
⊥
OB
，
∴∠AOB=
π
2
為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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