Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對(duì)任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

．
（1）判斷數(shù)列{

1

an

}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（2）證明：（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

an+1

an

=

bn

1- a n 2

，把a(bǔ)_n+b_n=1代入整理得

1

an+1

=

1

an

+1，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列．
（2）根據(jù)a_n+b_n=1，a₁=

1

2

求得a₁和b₁．進(jìn)而根據(jù)（1）中

1

an

求得a_n，進(jìn)而求得b_n，進(jìn)而可知要證不等式（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1，即(1+

1

n+1

)n+1•(

n

n+1

)n＞1，令f(x)=

lnx

x-1

(x＞1)，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再令g(x)=

x-1

x

-lnx，對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)判斷f（x）和g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性證明原式．

解答：（1）解：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列．
理由如下：
∵對(duì)任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

，
∴

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

=

1-an

1- a 2 n

=

1

1+an

．
∴

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

，公差為1的等差數(shù)列．
（2）證明：∵a_n+b_n=1，a₁=

1

2

∴a₁=b₁=

1

2

．
由（1）知

1

an

=2+(n-1)=n+1．
∴an=

1

n+1

，bn=1-an=

n

n+1

．
所證不等式（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1，即(1+

1

n+1

)n+1•(

n

n+1

)n＞1，
也即證明(1+

1

n+1

)n+1＞(1+

1

n

)n．
令f(x)=

lnx

x-1

(x＞1)，
則f′(x)=

x-1 x -lnx

(x-1)2

．
再令g(x)=

x-1

x

-lnx，
則g′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

．
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，即

x-1

x

-lnx＜0．
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)=

x-1 x -lnx

(x-1)2

＜0．
∴函數(shù)f(x)=

lnx

x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∵1＜1+

1

n+1

＜1+

1

n

，
∴f(1+

1

n+1

)＞f(1+

1

n

)．
∴

ln(1+ 1 n+1 )

1+ 1 n+1 -1

＞

ln(1+ 1 n )

1+ 1 n -1

．
∴ln(1+

1

n+1

)n+1＞ln(1+

1

n

)n．
∴(1+

1

n+1

)n+1＞(1+

1

n

)n．
∴（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1成立．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列、不等式等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)