Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，函數(shù)，則它的對稱中心為________；計算=________．

Answer 1

    2012
分析：①由于f（x）=，f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，由f″（x）=0可求得x=，f（）=1；
②設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任意一點，由于函數(shù)的對稱中心為 ，故點P關(guān)于的對稱點P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，于是有f（1-x₀）=2-y₀．從而可求值．
解答：①∵f（x）=，
∴f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，
由f″（x）=0得x=，
f（）=-×+3×-=1；
∴它的對稱中心為；
②設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任意一點，
∵曲線的對稱中心為 ；
∴點P關(guān)于的對稱點P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，
∴f（1-x₀）=2-y₀．
∴f（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴=[]+[]+…+[]=2×1006=2012．
故答案為：；2012．
點評：本題考查實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義，難點在于對“對稱中心”的理解與應(yīng)用，特別是：f（x₀）+f（1-x₀）=2的分析與應(yīng)用，屬于難題．