Question

設(shè)連接雙曲

x2

a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞0，b＞0）的4個頂點(diǎn)的四邊形面積為S₁連接其4個焦點(diǎn)的四邊形面積為S₂，則

S1

S2

的最大值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  2

• D、2

Answer 1

分析：先求出四個頂點(diǎn)、4個焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個頂點(diǎn)構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積的最大值，再求出4個焦點(diǎn)
構(gòu)成的正方形的面積 S₂，即得

S1

S2

的最大值．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞0，b＞0）互為共軛雙曲線，
四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（±a，0），（0，±b），4個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 （±c，0），（0，±c），
四個頂點(diǎn)構(gòu)成一個菱形，此菱形的邊長為

a2+b2

=c，S₁ =

1

2

•2a•2b=2ab≤（a²+b²）=c²，
4個焦點(diǎn)的四邊形構(gòu)成一個正方形，此正方形的邊長為

2

c，S₂=2c²，
∴則

S1

S2

的最大值為

c2

2c2

=

1

2

，
故選 A．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用基本不等式求出S₁ 的最大值，是解題的關(guān)鍵．