已知集合A={(x,y)|y≥|x-a|},B={(x,y)|y≤-a|x|+2a}(a≥0).
(1)證明A∩B≠∅;
(2)當(dāng)0≤a≤4時(shí),求由A∩B中點(diǎn)組成圖形面積的最大值.
【答案】分析:(1)根據(jù)(0,a)∈A,(0,2a)∈B,可得A∩B≠∅.
(2)分類討論:當(dāng)2≤a≤4時(shí),A∩B中點(diǎn)組成三角形,當(dāng)0<a<2時(shí),A∩B中點(diǎn)組成四邊形,求出相應(yīng)的面積,利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值,從而可得結(jié)論.
解答:(1)證明:顯然(0,a)∈A.
當(dāng)x=0時(shí),y≤-a|x|+2a=2a,
∴(0,2a)∈B.∴A∩B≠∅.
(2)解:如左上圖,當(dāng)2≤a≤4時(shí),A∩B中點(diǎn)組成如圖所示△EFD,
∴E(0,2a)、F(-,)、D()、G(0,a).
∴S△EFD=S△EFG+S△FGD=a•+a•=
當(dāng)0<a<2時(shí),A∩B中點(diǎn)組成如右上圖所示四邊形EFGH.
∴E(0,2a)、F(-,)、G(a,0)、H(,)、D(-2,0)、Q(2,0),
∴S四邊形EFGH=S△DEQ-S△DFG-S△GHQ=×4×2a-(a+2)•- (2-a)•=
當(dāng)a=0時(shí),A∩B={(0,0)},顯然適合上式,
∴S=
當(dāng)0≤a<2時(shí),S=,∴S′=>0
∴S=在[0,2)上是增函數(shù).∴0≤S<
當(dāng)a≥2時(shí),S=,∴S′=>0,
∴S=在[2,4]上是增函數(shù),∴≤S≤
綜上所述,當(dāng)a=4時(shí),A∩B中點(diǎn)組成圖形面積取得最大值
點(diǎn)評:本題考查A∩B中點(diǎn)組成圖形面積的計(jì)算,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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